APPLICATIONS. l3ï 
69" En résume, dans un tableau X de rang r, les 
0(7», /■) »(/z, /•) 
déterminants r-aires A^p sont chacun, le produit PaQp de 
deux formes mixtes dont chacune ne dépend que d'un seul 
des deux indices a et ^. 
Cette proposition nous sera très souvent utile. 
70° Considérons les m équations 
(0) 2«'7^y— 
aux n inconnues Il n'est ni plus, ni moins général de 
prendre les /■ équations distinctes que l'on obtient en consi- 
dérant une zone active quelconque d'indice a, par exemple. 
Complétons une matrice «-aire en écrivant au-dessous de 
la zone active de r lignes, n — /• lignes composées de quan- 
tités quelconques 
bç,j, p = i; 2, . . ., n — r, 
mais choisies, une fois pour toutes, de façon que le détermi- 
nant G de la matrice soit différent de zéro. Cela est toujours 
possible puisque la zone est active. 
Frobenius (/. c, p. 287) démontre que les valeurs les plus 
générales des £y sont données par la formule 
(1) ' Çj =^ Kp , Kp=rconst. arbitr. 
Autrement dit, toute solution de (o) s'obtient en attribuant 
aux constantes Kp des valeurs convenables. 
Pa et Qp ayant les significations cxpHquées ci-dessus, on a 
évidemment 
p 
où les Gp(//) sont des polynômes homogènes en br,j, c'est- 
à-dire les déterminants (// — r)-aires du tableau ||/'p/||. 
