U|-,L\TIONS, rOUK a CONSTANT, KNTRI', I.F.S U). I G 1 
et se décompose, puisque / est arbitraire, en 
(2) /(F) = o, /.(F) = o, 
Comme il n'existe aucune relation entre les F,, .. ., Fn (3 1 °), 
F, doit figurer dans chacune des équations 
/(F) = o, /.(F) = o, 
Les polynômes (3 1") /(U), /|(U), ... doivent être divi- 
sibles parle polynôme irréductible tI>XlJ). ( )r/(U), /i(U), ... 
contiennent seulement une partie des termes de ^>ï(Li ) et ne 
sauraient être divisibles (') par <I>,. 
Le même raisonnement démontre l'homogénéité des 
^F,(U) (3."). 
Par rapport aux w,, les expressions li), ^F^([J; u) 
sont rationnelles. Je dis de plus elles sont liojnogcii.es. 
Voici comment on l'établit. 
Quand on multiplie par l'arbitraire /, Xi = Xi{z \ u) ne 
change pas, F, est multipliée par /'"', car /n' est la classe de 
(') Dans le polynôme à -h i indéterminées 
P(a?,,r,, ...,x^) = Ao.r'«-H Aia"«-' + ..., Ao 5^ o 
( OÙ T ne figure plus dans les A), choisissons un groupe de termes 
O = B„.r"'-J- Bi.r"'-' + 
Supposons que P divise Q. Alors Q — KP, où K ne dépend plus des x. 
1/énoncé est évident pour g — o. Je dis que si l'énoncé est vrai pour ,^>, il 
est vrai aussi pour ^ + i . 
En elTet, si P divise Q, A,, divise Ijq- Or Vf, et Bo sont à indéterminées 
et le lemme s'applique. By = IvAq, oîi li ne dépend plus des x. Alors 
K = Q : P, 
puisque re\|)ression 
Q — KP = ( H,— KAi),?"'-i + . . .' 
doit être divisible par P, c"csl-à-dire identiquement nulle. 
Ainsi, Q contient non pas une partie, mais la totalité des termes de P, 
dont Q ne dillère que pai' un facteur K inilé[)cndant îles indéterminées 
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