A LA TIIÉ0RTE DES NOMBRES ENTIERS. 5 
leur produit. En effet, on a 
(a 1 — ab -\- b-) (a- — a(3 -+- (3 2 ) 
= {a a — 6(3) 2 — («a — 6(3) (a (3 + 6 a — 6(3) H- («{3 + 6a — 6|3) 2 
= (a(3 — 6a) 2 — («(3 — 6a) («a -+- 6(3 — bac) -+■ (aa -+- 6(3 — 6a) 2 . 
Cela posé, établissons maintenant la proposition suivante : 
Si un nombre premier p divise le nombre a 2 — ab -+- b' 2 , 
il est lui-même de la forme a 2 — a(5> -+- (3 2 . 
En effet, supposons que p divise a 2 — ab -h b 2 , où a et £ 
sont premiers entre eux. Nous pouvons remplacer a et b par 
leurs restes minima (mod p). Nous désignerons par a', /y' ces 
restes, inférieurs en valeur absolue à — • 
On a 
a n — a' b'-h 6' 2 < 3^Y</> 2 . 
On peut donc poser 
(i) a'- — a' b' ~H b"-—-pp' 
avec 
< />• 
Si // était égal à i, on aurait mis p sous la forme 
a" 2 — a' b' H- 6' 2 , et le théorème serait établi. 
Supposons p'^>i. 
Soient a' — ap', b' — fyp' les restes minima de a et de b' 
(mod/;'). Ils ne sont pas nuls tous les deux; autrement, a' 
et b' ne seraient pas premiers entre eux; chacun d'eux est en 
valeur absolue égal ou inférieur à — ■ Donc, on a 
° 2 
( a ' - ap' )- — (a' — ap') (6'— (3//) -+- (6'— (3//)'-53-^ < //* 
et, par suite, on peut poser 
(a'- xp'y- (a'-ap') (6'- (3//) (6'- $p'y = p'p" 
avec 
p"<p'<p. 
