A LA THÉORIE DES NOMBRES ENTIERS. 7 
Maire cubique dont la norme est un nombre premier réel 
est nécessairement premier. 
Exemple. — i ■+- 3p a pour norme 7. Donc 2 -h 3p est pre- 
mier. 
2. Supposons que la norme a' 1 — ab -h b' 1 soit un nombre 
composé. Soit p un nombre premier réel qui la divise. Alors 
deux cas sont à distinguer : si p est de la forme 3n — 1, il ne 
peut diviser a 2 — ab -+- b' 1 que s'il divise à la fois a et b (n° 5). 
Alors a H- bp est composé. 
Si p est de la forme 6n -h 1, on peut poser 
/> = a 2 — a(3 + |3 2 . 
Comme on a 
(««- 6(3) (aa + 6(3 — a (3) = « 2 (a 2 — aj3 H-(3 2 ) — £ 2 (« 2 — «6-t-6 2 ), 
puisque yD divise le deuxième membre, il divise soit aa — A [3, 
soit aa + — a p. Mais on a (n° 5) 
(«a — 6{3) 2 — (aa — 6£)(a|3 + 6 a — 6(3) + («(3 + 6a — 6(3 ) 2 
= (6a — a(3) 2 — (6a — a(3) (6j3 + «a — a[3) + (6(3 + rta — a(3) 2 
= (6a — a(3)" 2 — (a(3 — 6a)(aa-i-6(3- 6a)-t-(aa + 6;3— 6a) 2 
= (a 2 — a6 -h 6 2 ) (a 2 — a(3 + (3 2 ). 
Si p divise a a — il divise donc aussi a fi -h bv. — bfi. 
Si p divise a a -h bfi — a fi, il divise aussi &a — a [3. 
Or 
a + 6 p aa + 6(3 — a (3 6a — a (3 
a -+- (3p " p p n 
a + 6 p _ c/a — 6(3 a (3 + 6 a — 6 (3 
a 4- (3p s ~ p ' 
P- 
L'un ou l'autre des deux nombres a + ■■> - + ,. ^, sera 
a + (3p a + (3p 2 
donc entier. La norme du quotient, ~p~~~ ' est ' P ai 
hypothèse, différente de 1, puisque a- -— ab -h b 2 est un 
nombre composé. Donc a -+- bp est un nombre composé. 
