IO QUELQUES DÉMONSTRATIONS RELATIVES 
Théorème. — Le produit M == A a BPCX ..h\ où A, B, 
C, L désignent des nombres complexes cubiques pre- 
miers primaires différents, ne peut être divisible par 
aucun autre nombre complexe cubique premier primaire 
que A, B, C, . . ., L. 
Soit, en effet, P un nombre premier complexe cubique 
primaire non contenu parmi les nombres A, B, C, . . ., L. 
Soient p, a, 6, c, . . / les normes des nombres P, A, B, 
C, .., L. 
La norme de M est a a b^c^ . . . P . 
Si M est divisible par P, la norme de M est divisible par p. 
La norme d'un nombre complexe cubique est soit un 
nombre premier réel de la forme On -+-1(7, i3, 19, ... .), soit 
le carré d'un nombre premier réel de la forme 3n — 1 
(4, 20, 121, . . .), ou enfin 3. 
p sera donc nécessairement égal à l'une des normes «, 
b,c, L 
Supposons p — a. Si nous observons que deux nombres 
complexes imaginaires conjugués m -t- wp, m-\-np 2 sont 
simultanément primaires, comme P et A sont, par hypo- 
thèse, des nombres premiers complexes cubiques primaires 
non identiques, P et A sont nécessairement imaginaires con- 
jugués (n os 15 et 6). Donc p = a est un nombre premier réel 
de la forme 6n -+- 1 [on n'a pas p — 3, car 1 — p' 2 = 2 -h p est 
associé de (1 — p)], p = a n'est pas le carré d'un nombre 
premier. 
Soit donc 
A="r + sp, P = r ■+- s'p*. 
On a 
A = /■ — .s' — s p- — 2 /■ — s — ( /' -t- s p- ) 
ou 
A = 2 /• — s ( modP). 
Donc 
M = (2 r — .v) a Bf 1 CT . . . L' ( mod P). 
Nous supposons M divisible par P. 
