28 PROPRIÉTÉS DE QUELQUES GROUPES 
Comme on a 
le signe S s'étendant à tous les diviseurs de n, on voit qu'il 
n'y a qu'un sous-groupe d'ordre cl; ce sous-groupe sera un 
sous-groupe cyclique. 
On a ainsi tous les sous-groupes du groupe cyclique con- 
sidéré. 
Ainsi, un groupe cyclique n'admet que des sous-groupes 
cycliques; il y a autant de sous groupes que n admet de 
diviseurs. 
Soit oc un nombre premier avec n : les seuls isomorphismes 
possibles sont de la forme 
(tz = i, 2, ...,«); 
P étant un nombre premier avec /«, on a 
A a Ap= ApA a — A a p. 
Or les nombres entiers premiers avec n et pris suivant le 
module n forment un groupe T, d'ordre <p(n). 
Donc, le groupe des isomorphismes A a sera d'ordre cp(w) 
et simplement isomorphe avec le groupe T. Ce sera donc un 
groupe abélien. 
4. Si n est de la forme p'", p étant premier impair, il exis- 
tera un nombre entier X, appartenant à l'exposant 
9 (p m ) = p»i-i(p— i) (modp'"). 
Alors le groupe des isomorphismes sera un groupe cyclique. 
5. Soient 
n — m l m. 2 . . . m,., 
les facteurs m n m 2 , m,, étant premiers entre eux deux 
à deux. 
