34 PROPRIÉTÉS DE QUELQUES GROUPES 
Si l'on suppose que a appartient à l'exposnnt p — i 
(mod /)), la substitution | ax, y.y ] est d'ordre p — r; elle 
engendre le groupe des substitutions singulières, groupe 
cyclique d'ordre p — i . 
14. Il est aisé de voir que toute substitution singulière est 
conjuguée d'elle-même dans le groupe G. 
Soit d'ailleurs 
t = | ax 'h- èy, cz 1 -+- |, 
s = \ a.x -\- j3 y , y a; + ô y | . 
Écrivons qu'on a 57 = As, quelle que soit la substitution / : 
st — \a{ax + 3y) -I- 6 (y a? 4- <5y), c(aa? -t- |3j') +" d{yx -+- 
«5 | a (rtï -+- &y) 4- (3 (ca? 4- rfy), y ( ax + ô {ex + 
On a donc 
4- = aa + (3c \ 
aS-H b§^ab + &d I , . x 
\ (mou p). 
Ces congruences devant être vérifiées quels que soient a, 
b, c, d, on a 
(3 = o, y = o, a = <3 (mod/?). 
On voit donc que le groupe des substitutions singulières 
est aussi le groupe des substitutions conjuguées d'elles- 
mêmes. 
Vo. Deuxième cas. — La congruence A (a)==o (mod/?) 
admet deux racines distinctes. 
Il existe deux sous-groupes j a\, \b\, que l'isomorphisme 
correspondant transforme chacun en lui-même. 
