36 PROPRIÉTÉS DE QUELQUES GROUPES 
On peut donc, ou bien supposer 
b == c = o, c = a! , (3 =s [3' (mod/j); 
alors t=(ax, dv) fait partie du groupe H; ou bien faire 
a = d=o, a =J3', a' s [3 (mod/>); 
alors 
t = {by, ax). 
Mais t 2 — (ab.v, aby) est une substitution singulière. 
Le groupe J II, / J est donc d'ordre i(p — i) 2 . 
Le nombre des groupes H conjugués les uns des autres 
dans le groupe G est donc 
(/> 2 -')(>V-/>) i ' 
— — ; — H— = - P(P + 
2 (jt? — i) 1 2 1 1 
Or, il y a précisément - p (p + i) sous-groupes H. 
Donc : les - p(p +• i) sous-groupes H forment une suite 
complète unique de sous-groupes conjugués. 
Chacjue groupe donne (p — i )- — (p — i ) = (p — i) ( p — 2) 
substitutions non singulières. Donc, en tout, nous aurons 
ainsi 
substitutions non encore énumérécs. 
18. Troisième cas. — La congruence A'(a-) = o a une 
racine double, mais tous les mineurs du déterminant A (a) ne 
sont pas nuls. 
On a 
( y. + o) 2 = 4(a<5 — h"/) (mod />). 
L'isomorpbisme correspondant transforme en lui-même 
un seul sous-groupe d'ordre p. 
Soit | a \ ce sous-groupe. 
