d'ordre fini. 3'7 
L'isomorphisme sera de la forme 
( a b Y 
Il transforme a x b y en a ax+ ^'b 5y . 
La substitution correspondante est donc (ai: 4- fiy, oy). 
Les substitutions de cette forme constituent un groupe, car 
on a 
(« + (3/, («> + (3'/, = (a* + (3/) 4- (3'6>,â'o/], 
= [ aa! x 4- ( (3a' -+■ ô(3' ) y, ô' 0/ ] . 
Dans ce groupe, les substitutions cherchées sont celles pour 
lesquelles on a 
(a 4- ô) 2 = 4 «à 011 « = <5 (mod/j). 
Ce sont donc les substitutions (ax -h ay). 
a peut prendre les valeurs 1 , 2, . . . , p — r ; ^ les valeurs o, 
1, 2, . . p — r. Elles sont donc en nombre p(p — 1). Elles 
contiennent les substitutions singulières. 
19. Soit 
5 = \ax 4- (3y, ay), 
s- = (?.-j- 4- afty -t- fi<xy, a 2 y)=(a 2 x 4- 2 txfiy, a 2 j), 
s 3 = [a 2 (ocx 4- (3/) -4- 2 a 2 (3y, a 3 y] = (cc :i -l- 3 x 2 fiy, « 3 jk)- 
D'une façon générale, 
sV-— (aV-x 4- /jLctl^- 1 [3y, aPy). 
S'il ne s'agit pas d'une substitution singulière, c'est-à-dire si 
l'on suppose (3 ^ o, comme s p = (xx, oty), s p est la première 
puissance de .s qui fasse partie du groupe K des substitutions 
singulières. 
20. Les substitutions (v.x 4- $y, y.y) forment un groupe I 
contenant le groupe K. 
