38 PROPRIÉTÉS DE QUELQUES GROUPES 
On a 
faax-h afiy cexx-hcfiy\ 
{ax+-fiy,ay)(ax + by,cx+dy) = [ ry , ; 
V + bay -hdayj 
a' ' ax -+- a' by d ex -\- y! dy 
(ax + by,cx + dy)(y.'x + fi'y,y.'y) = 
■ - p ex -+- fi' dy 
Donc, pour qu'une substitution l ={ax -+- by, ex -h dy\ 
soit permutable avec le groupe I, il faut 
a y = a a' -h cfi' 
rt(3 -+- 6a == 6a' -h d fi' 
} (moù p). 
cy = ca 
c fi H- d a s5 d y' 
L'hypothèse c^o entraine a'=a, (3 = o, (3'=o;la sub- 
stitution l n'est donc permutable qu'avec le groupe K des 
substitutions singulières. 
Donc il faut qu'on ait c = o. 
Les congruences précédentes deviennent 
a (a — a' ) = o, 
a fi + 6 (a — a') = t/(3', 
rf(a — a') = o. 
On a, nécessairement, ad ^o. 
Donc 
a = a', c/(3'=a(3 (mod/j). 
Ainsi les substitutions (ax 1 + <iy) sont permutables avec 
le groupe 1. 
Elles sont en nombre p (p — i) 2 , puisque b peut prendre 
toutes les valeurs entières (mod p), tandis que a et d sont 
simplement assujettis l'un et l'autre à n'être pas nuls (mod/?). 
Le nombre des groupes I transformés les uns des autres 
est donc 
