d'ordre fini. 43 
slilulions de ce groupe autres que les substitutions singulières 
est 
p*- — 1 — (p — \) = P (p — \). 
27. Soit s = (ax -+- fty, yx -+- 8y) une substitution à con- 
gruenec caractéristique irréductible et supposons que, j et j p 
étant les racines de celte congruence caractéristique, j ap- 
partienne à l'exposant p- — 1 j mod [/?,,/"(*')]'• 
11 existe deux formes linéaires, ux çy, u'x -h v'y, à 
coefficients imaginaires de Galois, que s transforme en 
j (ux -+- vy) et j p (u'x -j- v' y) respectivement. 
Posons 
x' — ux -+- v y, y' = u ' x -T- v'.)', 
et prenons x' et y', au lieu de x et dey, comme variables. La 
substitution s devient (jx, j p y)- 
Alors, les seules substitutions permutables avec s qui ne se 
réduisent pas à une puissance de s sont de la forme (by, ex) 
(voir le deuxième cas) ; leur carré est une substitution sin- 
gulière. 
Par suite, le groupe des substitutions permutables avec s 
est d'ordre i(p- — 1). Le nombre des substitutions conju- 
guées de s est donc 
{p- — i)(p-~ p) _ p{p — r) 
2(p — i) 2 
Par suite, on peut dire qu'il y a ^p(p — 1) sous-groupes 
cycliques engendrés chacun par une substitution à con- 
gruence caractéristique irréductible, substitution d'ordre 
p" — 1, et que ces ^p(p — 1) sous-groupes forment une suite 
complète unique de sous-groupes conjugués. 
28. En résumé, le groupe G contient : 
i° Le groupe K des substitutions singulières, groupe cy- 
clique d'ordre p — 1 . 
