60 SUR LES GROUPES DE MATRICES LINÉAIRES 
Tout cela mène à une proposition importante : 
Théorème. — Sous le bénéfice des stipulations du n° 82, 
le groupe G, de rang fixe r, a toutes ses matrices fournies 
par la formule 
( «x a\u a \ 
(A — o, i, . . . ; <7,t = o, i, . ..), 
où les r-aires engendrent un groupe ordinaire T, lequel 
contient aussi toutes les matrices 
Les tableaux u a , (r, n — r\aire, et p T , (n — r, r)-aire, ne 
sont assujettis qu'à cette condition. 
85. Supposons en particulier que G soit d'ordre fini. 11 en 
sera évidemment de même pour chacun des groupes T aT . Les 
stipulations du n° 82 sont satisfaites et l'on a la proposition 
suivante : 
Théorème. — Tout groupe G, à rang fixe r, d'ordre 
fini û — u>pq, a ses u>pq matrices fournies par la formule 
(ai, u a , v x ) (X = o, i, « — i ; a = o, i, ...,p — i ; t = o, i, q — i). 
Les w matrices a\ engendrent un groupe, qui contient 
les pq matrices 
0 CTX = e r -+- u a i\. 
De plus, 
a 0 =e r , « 0 = t> 0 — o. 
86. Si les pq expressions u a v T s'évanouissent, 0 ffT = e r . 
Alors, si l'on pose, comme toujours, 
C = BA, A = (a, a, 2 , a 21 ), 
il viendra c = ba. G est isomorphe au groupe r-aire T des a x . 
A une a x donnée correspondent pq matrices de G. 
