l8 INTRODUCTION. 
coordonnées, on soit parvenu à mettre sous la forme 
(Çiu.( x )) ci-dessus, avec q^ (x) = o pour [x. 
Alors pour que le groupe (e) soit normal, il faut 
et il suffit que la matrice S?, ait le rang m — H„, 
H ff =/,-{- / 2 + ... H- 4. 
Les nombres A> — lp-, +{ sont ceux désignés ainsi au 
Chapitre VI; les entiers pi et g ( et aussi les successifs de S x , 
s'en déduisent sans ambiguïté. 
CHAPITRE X (§ 113). 
Tous les groupes de rang maximum m — 1 sont nor- 
maux, ainsi que tous les groupes (e), où m < 5, construits 
au Chapitre V . 
Comme application des théories du Chapitre IX, on 
construit le groupe normal quinaire, où les successifs sont 
p 3 , p et p. Il y a trois pareils groupes 
(O, O, O, x\, 1X î X z - s r 2X X X W ), (O, O, O, X\, X\ -+- 2X 1 X !t ), 
(o, o, o, x\, 2x l x l ); 
sont aussi normaux les groupes senaires du Chapitre VII. 
Le groupe non normal le plus simple est le groupe qui- 
naire (o, o, 2X, x 2 , x 2 , x 2 ,). Si y — x 2 , on a bien 
71=72=0, 
mais aussi la relation quadratique 
73 = 47*7*- 
CHAPITRE XI (§ 126). 
GROUPES QUASI— NORMAUX. 
Pour tout groupe (e), il existe un entier minimum gï, tel 
que le produit de xs -h 1 nombres pris à volonté dans (e) soit 
toujours zéro. 
Définition. — Un groupe (e) est quasi-normal s'il pos- 
sède la propriété suivante : pour qu'un nombre y de (e) soit 
