INTRODUCTION. [9 
le produit de a facteurs pris aussi dans (e), il faut et il suftit 
que les coordonnées v a dey satisfassent à un système ( H a , ) 
(o - = 1, 2, . . . , cî -t- 1 ), de H ç , équations linéaires, homo- 
gènes, à coefficients constants. Evidemment H„ = o, H w = m. 
Autrement dit : i° Prenons à volonté dans (e) ct facteurs 
x {>) , x'- 2) , . . . , .x' (X) , . . . , x (G) et posons y = x {>) . . . x {ri) . Les j a 
satisfont au système (H^,); 2 0 Soit y un nombre de (s) 
dont les coordonnées satisfont à (H ff _,) et sont d'ailleurs 
arbitraires. On pourra toujours, au moins d'une façon, 
trouver rs nombres x (i x' a) tels que y — x {{) . . . x [a \ 
mais on ne pourra d'aucune façon trouvera, 1 <r, nombres 
* (,) , . . . , t {z> tels que j = /")... /( T >. 
Les différences H^— , = l a sonl des entiers positifs. 
Le système (H a ) contient les H ff , équations de (H^, ) et l a 
les équations nouvelles 
H ff = Z, + . . .-M ff . 
Cela posé, tous les résultats énoncés au Chapitre IX pour 
les groupes normaux subsistent pour les groupes quasi- 
normaux, 6auf que les nombres / sont au nombre de xs et 
non de p. 
Le théorème réciproque subsiste aussi, mais avec une 
modification. Le rang m — H c doit appartenir non plus à la 
matrice S£ mais à un tableau e, (m, + i ))-aire, ainsi 
constitué : prenons à volonté dans (1) <z -+- 1 facteurs x l?) 
(p — 1 , 2, . . . , <7 + 1 ) et considérons les t+i produits 
yW = x {,) . . . x {? ~ ,} x { ? +{) . . . a?" 4 " 0 ; puis écrivons à la file les 
a - H- 1 matrices S (y l?) )- Le tableau ainsi obtenu est le 
tableau 5. 
Les groupes m-aires de rang maximum m — 1 sonl 
quasi- normaux. 
Il va sans dire que, dans un groupe quasi-normal, les 
nombres /> n'ont pas, par rapport aux successifs de S*, les 
mêmes relations que dans les groupes normaux. 
