24 PREMIERE PARTIE. — CHAPITRE I. 
8. M. Cartan (II, Index, p. 21) nomme pseudo-nul un 
nombre '(de (s) tel que 
| pE — S(Ç) I = p" 1 , E ~ m-aire unité. 
Pour un certain entier plim, on a 
§t ) = (S ( Ç ))* = b. 
Posons 
(formules du n° 4). 
Mais s a $ÇQ p ) = o puisque S ÇÇ P ) = o. 
Donc 
z =. Çp +1 =- o. 
Réciproquement, si = o, on a 
S(^ +1 )=(S(C))^ 1 =o, 
et l'équation caractéristique 
' |pE -&(.£) |=o 
n'a que des racines nulles. 
Voilà pourquoi les nombres pseudo-nuls sont aussi des 
racines de zéro. On les nomme aussi nombres nilpolenls. 
9. Le groupe (1) est pseudo-nul s'il ne contient que des 
nombres pseudo-nuls. Il faut et il suffit pour cela que, pour x 
quelconque, on ait 
| P E-S(^)j = p'». 
10. On sait (Encyclopédie des Sciences mathématiques, 
édition française, t. I, I er Volume, fasc. 3, p. 4 ? 5) que la 
construction de tous les groupes commutatifs se ramène à 
celle des systèmes nilpolenls commutatifs c'est-à-dire des 
groupes commutatifs et pseudo-nuls. 
C'est le problème qui nous occupera désormais. 
