CHAPITRE II. RANG. RANG LINÉAIRE, 13 
CHAPITRE II. 
RANG. RANG LINÉAIRE. 
I I. Prenons dans un groupe commulatif pseudo-nul (i), 
la malrice S (a?) eL la parasLrophe R(a). Désignons par 
r le rang de S (x), pour x quelconque, 
x le rang linéaire (Préliminaires, 16) de S(.-r), 
r le rang de R (u), pour u quelconque, 
U le rang linéaire de R(m). 
On verra (n° 26) que H < m. 
12. On a r < m. 
En effet, puisque 
\ P E-S(œ)\ = p'", 
|S(*)| = o. 
On a r < m. En effet, si | R(«) | ^ o, on aurait (Index, I, 
§ 2, in fine) | S (x) | o. 
On a v>r; x étant le rang linéaire de S (a;), on peut, à la 
similitude près (7), admettre que s a $(x), élément de la 
matrice S (x), ne contient que les r variables x n x 2 , . . ., x ï . 
Alors a a p r = o pour y > r ; donc = « a py — ° pour y r ; 
s ay (ac) = o, pour y > v. 
Dans la matrice S (a?) les m — x dernières colonnes sont 
formées de zéros et l'on a forcément r< x. 
On a H>7\ La parastrophe R(m) ayant le rang linéaire H, 
on peut encore admettre, à la similitude près, que l'élé- 
ment 
%(«) — ^ "q^qpy 
a 
de R(w) ne contient que les lit premières variables a a ; 
«apy = ° P our a >> 11; s a p(a;) = ^x y a a p Y = o pour a > 11. 
La parastrophe a ses m — tt dernières lignes composées de 
zéros. Alors forcément H. 
