PROPRIÉTÉS DR LA FORME RÉDUITE. 3"] 
33. La matrice-canevas /c-aire P(x) est de la sorte M 
déjà étudiée (Préliminaires, 10); de plus, la zéro-ième dia- 
gonale est composée de zéros. 
Dans le groupe (z) choisissons x de façon qu'en outre les 
diagonales première, seconde, . . . , H-ième soient composées 
de zéros. 
Cela revient à établir entre les x a un certain nombre de 
relations linéaires, homogènes, à coefficients constants. 
Nommons Z le système des nombres x ainsi obtenus. 
Soient x ely deux nombres pris, l'un dans Z, l'autre quel- 
conque dans (s) et xy = yx leur produit. 
La /f-aire P (xy) = P (x) P (y) aura aussi (Prélimi- 
naires, 12) ses diagonales jusqu'à la H-ième inclusive- 
ment composées de zéros. Donc le produit d'un nombre 
de Z par un nombre quelconque de (z) est encore un 
nombre de Z. Enfin, le système Z est un sous-groupe inva- 
riant de (s ). 
Je n'approfondirai pas davantage ici cette matière, la 
réservant pour un travail ultérieur. 
34. Il est aisé de voir que si S (a?) est sous forme réduite, 
on a, quels que soient les entiers (g-,, ...,g k ), la relation 
s 0L p(x)=o pour (3 5 a. La condition II du n° 19 est déjà satis- 
faite et il suffît de satisfaire à Ja condition f. Les matrices 
S (a?) et S (y) sont échangeables et dans le cas actuel 
? p 
p = P + i, (3 + 2, a — i. 
Supposons que les quadratiques f n . . .,/"«_, soient connues 
et cherchons à construire f a . On a à écrire les m — i relations 
s a $(xy) = s a $(yx) où (3 = i , 2, a — i. Alors la formule 
ci-dessus montre que les coefficients de f a {x) ne dépendent 
que des coefficients de f,(x), . . . , / a _, (x) et des rela- 
tions de récurrence donnent f a à l'aide des expiassions 
fi 1 • • • ? fa,- 1 • 
