38 DEUXIÈME PARTIE. CHAPITRE IV. 
La construction du groupe ra-aire (e) est ainsi ramenée à 
celle des groupes d'ordre moindre. 
35. Je me propose d'appliquer les considérations géné- 
rales sur la forme réduite à l'étude des groupes (e) de rang- 
maximum r=m — i, pour lesquels le rang linéaire x est 
aussi (17) égal à m — i. La matrice n'a qu'un seul suc- 
cessif {Préliminaires, 18), | pE — S^l = p m . L'équation de 
moindre degré à laquelle satisfait S x est S™ = o. 
Théorème. — Pour que r = m — i, il faut et il suffit 
que (s) — (x { \ x % \ ... ; x m ). Autrement dit, dans la forme 
réduite, k = m et tous les g ont pour valeur commune l'unité. 
I. La condition est nécessaire. Puisque r — x — m — i , 
le calcul du n° 20 donne 
= /6,(ar) 
* VG(*) o 
où £,(.#) est la matrice {m — i)-aire du groupe (ô ( ). Le 
rang de S, (a?) est m — 2, car si ce rang était moindre, ni le 
tableau ^ ^ 1 j à m lignes et m — r colonnes, ni ne pour- 
raient avoir m — i pour rang. 
Le groupe (0,) a donc aussi le rang maximum m — i et le 
rang linéaire m — i. Raisonnant de même sur (6 2 ), (6 3 ), 
on verra que 
k — m, g, — g^... — g k ^\ (e)=±(a?i; . ..;#,„). 
C. Q. F. D. 
IL La condition est suffisante. Si (£) = (a?,; ...;x m ), le 
système X-\ (24) se compose de l'unique variable X\. La qua- 
dratique f a contient les variables x n x a _. 2 et contient 
effectivement x a _ , (25); 
Alors la matrice S x fournit un déterminant (m — i)-aire 
