64 QUATRIÈME PARTIE. — CHAPITRE VIII. 
laisse invariantes m n m>m i > o, expressions telles que 
V—^Paya (v a = const.), 
a 
linéairement indépendantes, qu'on peut supposer être y,, 
y 2, • ••, On a alors 
E,«, o \ m, 
A' 1 ' / m — m, ' 
m ï m — m y 
E OT — m, -aire unité; 
A (,) = matrice {m — m,)-aire. 
Le groupe {m — «î,)-aire de matrices A (,) est abélien et 
de la nature G. Nommons-le G,. 
On raisonnera sur G, comme on vient de le faire sur G. 
On aura un nouvel entier positif m,, m — m i >m. 2 et 
E OTo o \ m 2 
... A (2) J m — m, — m 2 1 
m 2 m — m, — m 2 
et ainsi de suite. On parvient ainsi au théorème suivant : 
Théorème. — A tout groupe abélien G correspondent k 
entières positifs mx (À = i, 2, . . ., k), avec m tels 
x 
que toute matrice A du groupe ait pour canevas la matrice 
/f-aire 
Q = (qXy.) (l,ix = i,2, k), 
q x ^ — tableau (m\, m^-aire, avec q^ — o pour o.^>"k. qn 
est la matrice m^-aire unité. 
Les entiers m>, constituent ce que M. Jordan nomme la 
signature [m n m k ] du groupe abélien G. 
86. M. Jordan considère comme évident et ne démontre 
pas la propriété qui se résume dans le lemme suivant : Tout 
groupe G m , m-aire, admet pour invariants m n m^/n^ > o, 
