CLASSIFICATION DES GROUPES (ê) D'APRÈS LEUR SIGNATURE. 65 
expressions v — v s y\ -+-...+ v m y m , v 0L = const., linéaire- 
ment indépendantes . 
Le lemme est évident pour m '= i, je vais montrer que le 
le m me est vrai pour an G m , s'il est vrai pour le groupe G' OT , 
(m' <^ m). 
Prenons une matrice ou une substitution l> de G,„ diffé- 
rente de l'unité. Comme | p E m — B | = (p — :)'", E OT = m-aire 
unité, il est évident que la substitution B admet pour inva- 
riants (o < [x < m) expressions p linéairement indépen - 
dantes, qu'on peut toujours, par un choix convenable de 
variables, identifier avec j',, y.,, . . ., y„. 
Toute substitution A de G,„, étant échangeable à B, rem- 
place y x (X, X' = i , 2, ... p.) par^axv/x-, a U '= const. et 
x 
l'on a 
G =f a<,) ° 1 P - 
où les matrices [x-aires a (l) forment un groupe Gm.. Le lemme 
est vrai pour Gm puisque \j.<^m, Gm, admet pour inva- 
riants m\ >• o expressions v,y t -+- ... -h v^y^ linéairement 
indépendantes, lesquelles sont aussi des invariants pour G m . 
Comme m K = m\ on a aussi m { >o. c. q. f. d. 
87. Voyons comment on peut utiliser les résultats de 
M. Jordan dans nos présentes recherches. 
Considérons les matrices § x = E-H- S x . On a 
\pE-S x \ = (p ->)'". 
Les matrices $ x sont échangeables entre elles et forment, 
par suite, au sens de M. Jordan, un groupe abélien G,„, 
auquel nous n'avons qu'à appliquer l'analyse (83, 84, 85) de 
M. Jordan. 
88. Cherchons à construire une expression y = 
a 
Ann. de Lyon. > 
