72 CINQUIÈME PARTIE. — CHAPITRE IX. 
Déjà, pour n = 2, cas où les sont les quadratiques 
f a (x), introduites au n° 6, on a trouvé au Chapitre II, les 
résultats que voici : 
r étant le rang de S x et % étant le rang linéaire de la 
parastrophe, les/" a sont liées par m — r relations algébriques 
dont m — Il linéaires, homogènes, à coefficients constants et 
% — r non linéaires (16). 
Il est évident que pour <r > 2 on trouvera aussi des sujé- 
tions algébriques entre les coordonnées (a? ff ) a de x°. 
99. Définition. — Un groupe (e) est normal, si la con- 
dition nécessaire et suffisante pour que y soit une puis- 
sance (j-ième exacte (a = 1, 2, 3, p-h 1), est l'exis- 
tence, entre les y a , d'un système (H ff _, ) de H CT _, équations 
linéaires, homogènes, distinctes, à coefficients constants : 
H 0 =o, W p —m, 
évidemment. 
Autrement dit : 
I. Prenons à volonté x dans (ê) et posons y — x*\ les 
coordonnées^ dey satisfont au système (H 5 _, ); 
IL Soit, dans (e), un nombre quelconque y, dont les 
coordonnées y a satisfont à (H a _, ) et sont d'ailleurs arbi- 
traires; il y aura dans le groupe (s) au moins un nombre x, 
tel que y = x°. 
100. Si y = 2 e a .r« = x- = £ 
a a 
on a, en différentiant, 
dy — dy rx = <jx' J - [ d.r. 
a 
rf 7« = °" ^ dX $ * a P ^ ' :rCr ~ 1 ^ ' 
P 
Par conséquent: La matrice crS(.ï cr ~ l ) = u S/ -1 est la 
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