78 CINQUIÈME PARTIE. — CHAPITRE IX. 
Ainsi S y a composées de zéros ses premières lignes et 
ses m — H p _ a dernières colonnes. S r se réduit ainsi à un 
tableau (m — H^, H / ,_ [7 )-aire. S r a le rang m — et l'on 
doit avoir H^^m — ou 
(o) R a -hH p _ a >m, 
Il semble donc que les relations (o) introduisent des sujé- 
tions entre les entiers / n l p . Il n'en est rien; les condi- 
tions (o) sont toujours satisfaites. 
En effet, les entiers /,, . .., l p forment une suite jamais 
croissante (104). Désignons par Jp la somme de a nombres / 
consécutifs dont le premier est / p . On a évidemment, 
pour p' = p, 
(0 Jp^Jp'.. 
Or (o) s'écrit 
H ff > m — R p ^ 
ou 
c'est-à-dire 
rcr> 1° 
J 1 = J p— CT-f-l J 
ce qui est exact eu égard à (1). 
111. Soit le groupe (e). Prenons/? entiers 4 1 5 2 > ••'■>p)i 
positifs assujettis uniquement aux conditions 
X 
Supposons que, par un choix convenable de variables, on 
ait mis S^ sous une forme telle qu'elle possède le canevas 
jo-aire (106) 1^= (/^ (#)), l~ /[L (x) — tableau (/> , /^-aire 
avec l 1 ^(x) = o, pour f/. = À. Nommons les entiers 4 signale- 
ment [/,, l p ] du groupe (s). 
Alors, pour que (1) soit un groupe normal, il faut et il 
suffit que, pour x quelconque, la matrice 
S£=S«) (<7 = l,2, ...,p), 
ait le rang r 0 = m -«- H 0 , Il — /, -+- 1 2 -+- ... -h 4. 
