CHAPITRE X. — APPLICATIONS. 79 
T. La condition est nécessaire. Cela résulte de toute 
l'analyse du présent Chapitre. 
II. La condition est suffisante. — La />-aire L r étant de 
la forme & (Préliminaires, 13) la /j-airc L* aura ses dia- 
gonales zéro-ième, première, (a— i)-ième formées 
de zéros. S* aura ses H,, premières lignes et ses m — 
dernières colonnes (1 10) composées de zéros. S£ se réduit à 
un tableau T (m — H^, H^^-aire. 
Posons 
On a (100) 
( ff + i)S*=(J^) (a,(3 = x, 2 ,...,m); 
les premières y a _ sont nulles. Le tableau T est constitué 
par les dérivées partielles de celles des y a , qui sonty a ^ o, 
par rapport aux H pa premières variables x^. En vertu 
de 110, le nombre m — des y a non nulles ne dépasse pas le 
nombre }î p _ a des variables. Si donc le tableau T, ou la ma- 
trice S£, a le rang m — H^, on pourra, des m — H 5 équations 
y a = (x^ 1 ) œ , a > H^, tirer m — des variables x$ conve- 
nablement choisies. La double condition indiquée ai| n° 99 
pour que (s) soit normal est ainsi satisfaite. 
c. Q. F. D. 
I 12. Passons maintenant à la construction effective de 
quelques groupes normaux. 
CHAPITRE X. 
APPLICATIONS. 
113. Théorème. — Tous les groupes (t) de rang maxi- 
mum, r = m — 1 sont normaux. 
Prenons S x sous la forme réduite, indiquée au n" 37, 
