GROUPES QUASI-NORMAUX. 87 
IL Si les coordonnées d'un nombre y de ( e) satisfont au 
système (H^,) mais restent d'ailleurs arbitraires, alors y : 
i° peut, au moins d'une façon, être décomposé en un produit 
de <j facteurs ; 
2 0 Ne peut être décomposé en un produit de plus de 
1 facteurs. 
129. Théorème. — Les H ff _ 2 équations de (H ff _ 2 ) 
figurent parmi les H ff _,< équations de (H ff _ t ). 
Soit y un nombre dont les coordonnées satisfont à (H ç _, ) 
mais à aucune autre relation. On aura (définition du n° 128) 
au moins un système de a nombres x {i \ x [a \ tels que 
y = x {{) . . .x m . Posons z= x {,) x m ; y sera le produit de 
(7 — i facteurs z, x w , . . ., x {c) \ les coordonnées de y satisfont 
(définition du n° 128) au système (H ff _ 2 ). Le système (H,-_,) 
est donc une conséquence de (H (7 _ l ). 
c. Q. F. D. 
C'est l'analogue du théorème du n° 103 pour les groupes 
normaux. 
Théorème. — On a îl <r _ 2 < H ff _,. 
Que H 0 ._ 2 ^H (y _ 1 , c'est ce qui résulte du théorème précé- 
dent. Montrons que l'hypothèse H ff _ 2 = H ff _, est absurde. 
Si H 0 ._ 2 = H ff _ n les deux systèmes (H ff _ 2 ) et (H ff _,) 
coïncident. Soity un nombre dont les coordonnées satisfont 
à (H ff _ 2 ), mais à aucune autre relation particulière ; y ne peut 
(définition du n° 128) être décomposé en un produit de <x 
facteurs. Mais le même y a ses coordonnées qui satisfont 
à (H^,); y (définition du n° 128) doit pouvoir être décom- 
posé en un produit de a facteurs. Il y a contradiction et 
l'égalité H^_ 2 = H ff _, est à rejeter. 
c. Q. F. D. 
C'est l'analogue des considérations du n° 101 pour les 
groupes normaux. On posera donc encore H ff = H ff _, H- 
où l a est un entier positif. 
