517 
vierte Ebene bestimme auf diesen Durchschnittslinien Ab- 
schnitte, welche sich verhalten wie die Längen : 
OAi : OA2 : OA3. 
Eine fünfte Ebene bestimme Abschnitte, welche sich wie 
die Längen: 
OB, : OH2 : OH3 
verhalten. Man bilde die drei Verhältnisse: 
OAi ^ OA2 . OA3 
OB, ' OH2 * OH3 
Wenn nun die beiden zwischen diesen drei Verhältnissen 
bestehenden Verhältnisse rationale Zahlen, die Null mit 
einbegriffen, sind, so nennt Möbius die fünfte Ebene aus den 
vier ersteren Ebenen arithmetisch ableitbar. Setzt man 
OA^ . OA, . OÄ3 _ 
OH. ■ Öh; ■ OH3 - • • »"s 
SO heissen die rationalen Zahlen hj , hg , h3 bekanntlich die 
In die es der Fläche, welche die Abschnitte OHj , OH2, OH3 
bestimmt. Das Gesetz der rationalen Indices lautet nun: 
„Das System der in einer Kry s tallgattung 
möglichen Flächen und Kanten ist so beschaffen, 
dass aus je vier Flächen (Kanten*)) die jedesmal 
übrigen Flächen und Kanten arithmetisch abge- 
leitet werden können." 
Es seien vier Ebenen , von denen nicht je drei einer und 
derselben Geraden parallel sein sollen , gegeben. Zu diesen 
Ebenen sollen andere Ebenen in der Weise hinzugefügt wer- 
den, dass jede neue Ebene mit zweien von den Durchschnitts- 
linien der bereits vorhandenen Ebenen parallel laufe. Dann 
nennt Möbius jede dieser neuen Ebenen aus den vier ersteren 
Ebenen geometrisch ableitbar. Das Gesetz der Zo- 
nen ist mit Rücksicht hierauf wie folgt zu formuliren: 
„Das System der in einer Kry Stallgattung 
möglichen Flächen und Kanten ist so beschaffen, 
dass aus je vier Flächen (Kanten) die jedesmal 
übrigen Flächen und Kanten geometrisch abge- 
leitet werden können." 
*) Da Flächen und Kanten sich dualistisch gegenüberstehen, so 
kann man, was von den Flächen gilt, auch von den Kanten aussagen. 
