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Der Beweis des vorstehenden Satzes ist in dem für die 
neuere Geometrie bahnbrechenden Werke von F. A. Möbius: 
Der barycentrische Caicul 1827, enthalten. Der Abschnitt 
über das geometrische Netz in der Ebene pag. 266 ff. be- 
handelt Systeme von Geraden und Punkten der Ebene, welche 
die Eigenschaften der Flächen und Kanten eines Krystalls be- 
sitzen , d. h. arithmetrisch und geometrisch aus je vier unter 
ihnen ableitbar sind. 
Es werde zunächst das Gesetz der Zonen zu Grunde ge- 
legt. Die Gleichungen der vier gegebenen Flächen C^, Cg, C3, A, 
von denen die drei ersteren zu Coordinatenebenen gewählt sein 
mögen, seien bezüglich: 
=0, = 0, ^3 
0 
1 + 1 £3 = 0 
Die Fläche A bestimmt die Axenlängen a^, a^i welche 
sich im Allgemeinen wie irrationale Zahlen verhalten. Es soll 
nachgewiesen werden , dass jede aus den vier gegebenen 
Flächen geometrisch ableitbare Fläche H durch eine Gleichung 
von der Form : 
«1 
worin hj , hg , hg rationale Zahlen , die Null mit einbegriffen, 
sind , dargestellt werden kann. Zu diesem Zweck betrachte 
man die Art und Weise, wie die Coordinaten einer geometrisch 
abgeleiteten F'läche (Kante) aus den Coordinaten der dieser 
Ableitung zu Grunde liegenden Kanten (Flächen) zusammen- 
gesetzt werden. Es sind die Coordinaten der Kante, welche 
durch die beiden Flächen G (g, gg) und K (k, k^ k,) 
bestimmt wird, enthalten in dem Rechteck: 
g2_ 
aj 
_^ 
^1 
^3 
Sie haben die Werthe: 
1 
iSz ^3 — ga k,), 
1 
(gak. - g, k3), 
(g, k, - g,k,). 
