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Die aus den Indices bj h2 hg, b/ hg', b/' h^' hg" gebil- 
dete Determinante lässt sieb nicht in einen Ausdruck umformen, 
der nur trigonometrische Functionen der von drei tautozonalen 
Flächen H, H', H" eingeschlossenen Winkel enthält. Demnach 
giebt es im Allgemeinen keinen für die Winkel zwischen nur 
drei tautozonalen Flächen bestehenden Ausdruck, der bei jeder 
Temperatur constant bleibt. Dies müsste indessen der Fall 
sein, wenn das Gesetz der Rationalität der Tan- 
genten tautozonaler Kanten in Wirklichkeit diejenige 
allgemeine Gültigkeit besässe, welche ihm von Fr. Naumann*) 
zugesprochen wurde.**) Naumann leitete bekanntlich durch 
eine theoretische Betrachtung die Bedingungsgleichungen ab, 
welche die Axenlangen und die von den Axen eingeschlossenen 
Winkel erfüllen müssen, wenn die Krystalle des asymmetrischen 
Krystallisationssystemes jener Regel unterworfen sein sollen. 
Dieser Betrachtung legte er die Hypothese zu Grunde, dass 
die Axenlangen jedes Krystalles entweder rationale Zahlen 
oder durch Quadratwurzeln aus rationalen Zahlen darstellbar 
seien. Im Anschluss an seine analytischen Ergebnisse ver- 
suchte Naumann zu zeigen, dass die theoretischen Bedingungen 
durch die vorhandenen ßeobachtungsresultate befriedigt wer- 
den. Da nun hiernach das unter der angegebenen Voraus- 
setzung abgeleitete Gesetz der Rationalität der Tangenten 
tautozonaler Kanten eine durch alle Beobachtungen bestätigte 
Thatsache sei, so folgerte Naumann, dass auch die zu Grunde 
liegende, zuerst von Ch. S. Weiss aufgestellte Hypothese, be- 
treffend die Darstellbarkeit der Axenlängen durch Quadrat- 
wurzelgrössen, als richtig erwiesen sei. Allein schon die theo- 
retischen Consequenzen, welche V. v. Lang unter der Annahme 
der allgemeinen Gültigkeit des Gesetzes in Rede aus demselben 
zog***), lassen erkennen, dass dieses Gesetz keineswegs in 
allen Fällen mit der Wirklichkeit übereinstimmen kann. Die 
interessante Untersuchung Lang's ergab unter der erwähnten 
Voraussetzung, dass die Tangeten tautozonaler Kanten ratio- 
nale Vielfache derselben Quadratwurzelgrösse seien; dass die 
goniometrischen Functionen irgend einer Krystallkante (oder 
eines ebenen Krystallwinkels) sich durch Quadratwurzeln aus- 
Abhandl. d. sächs. Ges. d. Wiss. Bd. II. 1855. — Elemente 
der theoretischen Krystallographie 1856. pag. 54—57. 235. 333. 334. 355, 
372-375. 
**) Allerdings benutzt Naumann zur Formulirung seines Gesetzes 
vier Flächen F, F', F^, Fj'. Allein es kommen nur die Winkel (F F') 
und (FjFi') in Betracht. Daher ist offenbar, dass das Gesetz auch 
gelten muss, wenn F' mit F^ zusammenfällt. 
***) Sitz.-Ber. d. Wien. Akad. 1860., math.-phys. Gl. Bd. XLI. 
pag. 525-534, 
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