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drücken lassen; dass jede Fläche, welche zu einer anderen 
Fläche in einer Zone senkrecht steht, sowie jede Fläche, 
welche auf einer Krystallkante senkrecht steht, eine mögliche 
Krystallfläche sei; dass jeder Krystall sich wenigstens auf ein 
monoklinoedrisches Axensystem beziehen lassen müsse. Dem- 
nach stehen die so vielfach ventilirten Fragen nach der Mög- 
lichkeit rechtwinkliger Axensysteme, der Darstellbarkeit der 
Axenlängen durch Quadratwurzelgrössen und der Rationalität 
der Tangenten tautozonaler Kanten im Zusammenhange und 
erledigen sich gleichzeitig mit einer unter ihnen. Mit der 
Prüfung dieser Fragen beschäftigte sich in eingehender Weise 
G. VOM Rath in seiner bewundernswerthen Abhandlung über 
den Axinit. *) Auf Grund genauer Messungen gelang es ihm 
zu zeigen , dass die Bedingungen Naümann's durch die neu 
gewonnenen Elemente des Axinit nicht erfüllt werden. Damit 
war nachgewiesen, dass das Gesetz der Rationalität der Tan- 
genten tautozonaler Kanten und die mit ihm zusammenhän- 
genden Relationen für das asymmetrische Krystallisations- 
system keine Gültigkeit besitzen. Zu demselben Ergebniss 
führt folgende theoretische Erwägung: die Verhältnisse der 
Tangenten tautozonaler Kanten enthalten die Axenlängen und 
die von den Axen eingeschlossenen Winkel ; da diese Grössen 
im Allgemeinen mit der Temperatur stetig veränderlich sind, 
so sind es auch die Verhältnisse jener Tangenten. Die Auf- 
suchung der einzelnen Fälle, in denen die Tangenten tauto- 
zonaler Kanten sich wie rationale Zahlen verhalten , setzt die 
Kenntniss der Symmetrieverhältnisse der Krystalle voraus. 
Bezeichnet man den Cosinus des von den Coordinaten- 
axen x^ und Xj^ eingeschlossenen Winkels mit Cjj^ und wendet 
man ferner für die aus den Grössen Cjj^ gebildete Determi- 
nante das Symbol A an, so ist im asymmetrischen Krystal- 
lisationssystem die Tangente der von den Flächen H' {h\ h'g h'g) 
und H" (h"i h\ h"^) gebildeten Kante: 
]/a . 2 aj ak ri- yjj, 
tan (H'H") = ^ 
i,k = l ai ak 
Hierin ist 73, = h/ h/' — h3' h./', yj, = h,' h h / h^^ 
7^^ h/hg" — b/h/'. In den schiefwinkligen (asymmetri- 
schen und monosymmetrischen) Krystallisationssystemen ist 
*) PoGG. Ann. 1866. Bd. 128. pag. 166 ff. 
