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das Verhältniss der Tangenten tautozonaler Kanten niemals 
einem Verhältniss von rationalen Zahlen gleich, da jenes Ver- 
hältniss stets die von den Axen eingeschlossenen Winkel, 
von denen also wenigstens der eine von 90° verschieden ist, 
enthält. Wir können daher unsere Betrachtung auf die recht- 
winkligen Krystallisationssysteme beschränken. In diesen ist 
Cll = — C33 = 1, C23 = Cgj == Cj2 = 0, Ajj = A22 = A33 = 1, 
A23 = A31 = = 0, A 1, also: 
tan (H^H^O 
(a,a, (b2-b3- - h,\y + a2a2 (h3-b/- - h,\y + a3a3 (b/h2--- h,\y) 
,3 ( W + VV + W\ 
\ a^ a^ a2 a2 83 03 / 
Ein analoger Ausdruck besteht für die Flächen K' (k/k'2 k'3) 
und K" (k/'k2"k3"). 
Gehören H', H", K', K" derselben Zone an, so kann man 
setzen : 
h/bj" - h,'b," =1. (k/k," - k,'k,"), etc. 
worin X eine rationale Zahl bedeutet. Demnach ist, unter 
R eine rationale Zahl verstanden,: 
tan (H^ H^^) 
tan (K'K") 
Dieser Ausdruck erhält einen rationalen Zahlenwerth: 
1. wenn die Coordinatenaxenlängen aj, a^^ Quadratwur- 
zeln aus rationalen Zahlen sind, 2. wenn sowohl eine der 
Ebenen H', H" als auch eine der Ebenen K', mit einer 
und derselben Coordinatenaxenebene zusammenfällt. Es mö- 
gen beispielsweise H' und K' mit X2 Xg zusammenfallen; dann 
ist hg' = hg' = 0, hg' = kg' = 0 und: 
tan (H' H") _ k/ k/ ' 
tan (K' K") ~ ' h/ h/' 
D.h. Wenn in einem recht winklichen Krystallisations- 
systeme eine Zonenaxe in einer Coordinatenaxenebene liegt, so 
verhalten sich die Tangenten der Winkel, welche diese Ebene mit 
den Flächen der Zone einschliesst, wie rationale Zahlen. Ein 
R . 
a, ao a« a, a. 
a« a^ 
+ 
b'h: 
a<> a«; 
