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Das Gesetz der Rationalität der Tangenten tautozonaler 
Flächen besitzt also nur einen sehr beschränkten Geltungs- 
bereich. Es giebt aber einen auf vier tautozonale Flächen 
bezüglichen Ausdruck in den von diesen Flächen eingeschlos- 
senen Winkeln, welcher unabhängig von der Temperatur 
ist, näralich das an h ar m o nis c h e Verhältniss von vier 
einer Zone angehörenden Flächen. Dieses Verhältniss ist 
unabhängig von den Axenlängen und von den durch die Axen 
eingeschlossenen Winkeln und nur abhängig von den Indices 
der vier Flächen H (h^ h^ hg), H' (h/h/hg'), H'' (h/' h/ hg''), 
H'" (h/" h/" hf). Es ist (vergl. A. pag. 151) das anhar- 
monische Verhältniss : 
(h h\ (h' \i"X 
(H H H H ) - ■ -(^.r- 
worin s, z = 1, 2, 3 und (h h')^ ~- \ hg' — \ \\ u. s. w., 
und andererseits : 
m W H" H'"^ - (H H") sin (H' H'") 
(.H H H " J - (H' H") ■ sin (H H'") 
Im Allgemeinen verändern sich die Winkel zwischen je 
zwei Krystallflächen stetig mit der Temperatur. Allein mit 
der Veränderung der Temperatur geht die Veränderung der 
Winkel tautozonaler Flächen so vor sich, dass das anharmo- 
nische Verhältniss (H H' H" H'") zwischen vier dieser Flächen 
H, H', H", H'" denselben Werth behält. Ein analoger Satz be- 
steht für Kanten in einer Fläche. (Gesetz der Erhaltung 
des anharmonischen Verhältnisses von tautozo- 
nalen Flächen und von Kanten in einer Fläche.) 
3. besetz der Symmetrie. 
Es soll hier nur der Zusammenhang des Gesetzes der 
Symmetrie mit dem Gesetz der rationalen Indices hervorge- 
hoben werden, der sich kürzer als in dem Lehrbuche V. von 
Lang's darstellen lässt, wenn man das anharmonische Ver- 
hältniss von vier tautozonalen Flächen durch die Winkel zwi- 
schen diesen Flächen ausdrückt. 
Zufolge der Definition der Symmetrie - Ebene sind zwei 
Flächen H' und H" symmetrisch in Bezug auf jede der beiden 
mit ihnen in einer Zone liegenden Flächen G und K, wenn 
G den Winkel (H' H") und K dessen Nebenwinkel halbirt. 
Das anharmonische Verhältniss: 
