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sin (H"K) 
sin (H'K) 
ist in diesem Falle ein barmonisches : 
(H' H" G K) = — 
Denn es ist: (H' G) = (G H'^ und (H' K) + (H" K) = 
180 ^ also 
Die Flächen H' und H'' heissen einander zugeordnet in 
Bezug auf die Symmetrie - Ebenen G und K. Die einander 
zugeordneten Paare von tautozonalen Flächen sind zugeord- 
nete harmonische Flächen zu den beiden rechtwinklich auf 
einander stehenden Symmetrie - Ebenen. Wenn die Flächen 
eines Paares zugeordneter Flächen zusammenfallen, so muss 
auch eine Symmetrie-Ebene mit ihnen zusammenfallen. Dem- 
nach stellt eine Symmetrie - Ebene ein zusammenfallendes 
Flächenpaar dar. Da (H' H'' G K) eine rationale Zahl ist, so 
erhellt, dass öur mögliche Krystallflächen Symmetrie - Ebenen 
sein können. Ferner geht daraus hervor, dass tautozonale 
Flächen, welche bei irgend einer Temperatur eine symmetrische 
Zone bilden, auch bei jeder anderen Temperatur ihre Symme- 
trie bewahren. (Gesetz der Erhaltung der Sym- 
metrie.) Es erhebt sich nun die Frage, ob und wann tauto- 
zonale Flächen in mehrfacher Weise so zu Paaren geordnet 
werden können , dass diese Paare zugeordnete harmonische 
Paare zu Symmetrie-Ebenen, die nicht senkrecht auf einander 
stehen, sind. 
Es seien G und K zwei unter einem von 90^ verschie- 
denen Winkel zu einander geneigte Ebenen, welche Symme- 
trie-Ebenen der durch sie bestimmten Zone sein sollen. Der 
Fläche G entspreche in Bezug auf K die Fläche P, der Fläche 
K entspreche in Bezug auf G die Fläche Q. Dann haben 
wir vier tautozonale Flächen : Q, G, K, P, welche unter einan- 
der drei gleiche Winkel einschliessen , nämlich den von den 
Symmetrie - Ebenen G und K gebildeten Winkel: (G K) = cp. 
Damit die vier Flächen mögliche Krystallflächen seien, muss 
das anharmonische Verhältniss : 
sin (R'G) 
sin (H"G) 
= — 1 und 
sin (H'^K) 
sin (H'K) 
= 1. 
(QGKP) = 
sin (Q K) 
sin (G K) 
sin (GP) 
sin (QP) 
einen rationalen Zahlenwerth , Null und Unendlich mit einbe- 
griffen, besitzen. Nun ist: 
