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SUR LES FONCTIONS HYPERGÉOMÉTRIQUES 
Scherk (*), le premier, considéra l'équation 
L'habile géomèlre observa que, par la substitution 
« -t- = 
et un choix convenable de la constante y, cette équation est réductible à 
une équation de la forme (2), où p est égal à l'unité. 
Par un procédé, fondé sur le développement de la fonction en série, il 
parvint à représenter la solution générale de cette équation par une intégrale 
définie. 
Lobatto (**) reprit la question, traitée aussi par Rummer (***) et, sans 
faire usage de développemenis en série, exprima directement par des inté- 
grales définies les solutions particulières des équations différentielles : 
a;« = 0, -— • ahx"y = 0. 
dx" ^ dx^ ^ 
La dernière équation n'est aulre que l'équation de Riccati et M. Lommel ('^) 
a montré qu'elle est intégrable par les fonctions de Bessel. 
Loballo, qui n'aborda point l'étude du cas général, termina son travail en 
proposant l'intégration de l'équation (2) comme un objet de recherches 
utiles aux progrès de l'analyse. 
Par une méthode extrêmement ingénieuse, Rummer donna le moyen 
(*) Scherk, Ueber die Intégration der Gleichung ^ = {« -t- px)y (Journal de Crelle, t. X). 
— Jacobi, Bemerkungen zu der Abhandlung des Herrn Prof. Scherk : ûber die Intégration 
der Gleichung ^= px)y (Journal de Crelle, t. X). 
{**) Lobatto, Sur l'intégration des équations ^ xy = 0, -+- ahx^y = 0 j)ar des intégrales 
définies (Journal de Crelle, t. XVII). 
(***) KuMMÈR, Journal de Crelle, t. XII. 
(") Lommel, Zur Théorie der Bessel'schen Functionen (Mathematische Annalen, t. III). 
(') KuMMÉR, Note sur l'intégration de l'équation ^ = x^y par des intégrales définies (Jour- 
nal DE Crelle, t. XIX). 
