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SUR LES FONCTIONS HYPERGÉOMÉTRIQUES 
2. La première partie de ce mémoire sera consacré à Tétude de l'équa- 
tion hypergéométrique 
, d"y , rf'-'y , d"-'y dy 
x"-* -f- -f- L,x"-^ ^ -V- -f- L,,T"-'-' -+- H- L„_, — 
dx" dx"' dx"~' dx 
(3). . / 
^ d-^y d'"-'y d'^-'u dy 
r/x" rfx"-' r/x*"- (ix ^ 
dont les solutions principales particulières sont exprimables par des inté- 
grales définies [n — 1 j"P'^^^ à circuits fermés ou ouverts. 
Dans la seconde partie, nous traiterons spécialement l'équation diffé- 
rentielle binôme du ordre (2) et nous montrerons qu'une transformation 
simple permet de représenter les n solutions particulières par des intégrales 
définies (w — j^^pies^ quelles que soient les valeurs de p. Cependant nous 
en excluons certaines valeurs de l'exposant pour lesquelles l'équation serait 
intégrable ou aurait des intégrales logarithmiques. 
Par la substitution 
M I 
X = (/; -H nf+^z^', 
l'équation (2) est réductible à une équation hypergéométrique de la forme : 
dx" dx"-' dx"-'-' dx ^ 
Cette transformation a dû se présentera l'esprit de plusieurs géomètres; 
mais elle n'avait aucune utilité, si l'on ne savait intégrer cette équation 
hypergéométrique par des intégrales définies. Loin de paraître simplifier la 
question, celte transformation ne semble que la compliquer, tout en provo- 
quant cependant la disparition de l'exposant p, qui peut être un nombre 
fractionnaire ou même irrationnel. 
A un autre point de vue, nos résultats diffèrent encore de ceux des 
géomètres cités précédemment. L'ordre de multiplicité des intégrales définies 
sera indépendant du coefficient p; il est égal à celui de l'équation diminué 
d'une unité. Ce résultat me paraît ainsi plus conforme à la nature des 
choses. 
Nous espérons aborder prochainement l'étude de l'équation générale (1). 
