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SUR LES FONCTIONS HYPERGÉOMÉTRIQUES 
éléments ode la série hypergéomélrique, qui satisfait à cette équation (ii), 
sont égaux respectivement à 
p-t-t p-t-2 p + n — i 
' , ••• ■ 
p-HM p -t- Il 
Admettons pour un instant qu'il en soit ainsi. Les n solutions de l'équa- 
tion (41) sont 
x-'-''* <f'(2 — p^, ^, 1, ... je,^_, _ ^, + I ; x), 
x*-/'. J^(2 — Pi — Pi-^ I, /jj — p, -4- 1, .. p„_^ — ,?,.-+- I; x), 
a(;«-/'n-i/(2 _ ^„_,, ^, _ + _ -1- ... H- 1 ; x). 
Les ?i solutions de l'équation ditïérentieiie binôme seront représentées par 
la formule unique 
(42) 
5- 2 
«■ prenant successivement les valeurs 1, 2, 3, ... n (*). 
La série satisfait effectivement à l'équation différentielle (38). 
Par différentiations successives, on a 
dx" 
bip ") n~i][u{p + n) + n — ^•— ^]... n) + I — ?"] 
ou 
+ 
t + 
P n 
.In n u=ao 
dx" 
/.=ii 
/£ — i 
+ 
{P ^ 
1 - 
{ 
4=1 
p -h n 
u-i 
(*) l^a notation \ a\t représente symboliq uement la factorielle a{a -f-1) (a + 2)... (a -|-u — 1). 
