D'ORDRE SUPÉRIEUR. 
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11 est visible que le terme général de celle série esl égal au terme de 
rang u — 1 dans le produit ic^^y; donc, par la substitution de Sn-i à i/, les 
deux membres de l'équation différentielle binôme s'identifient terme à terme. 
Jusqu'ici^ nous n'avons fait aucune hypothèse sur l'exposant p, qui peut 
être un nombre, positif ou négatil', entier, fractionnaire ou même complexe. 
Notre procédé ne souffre aucune restriction. 
L'équation différentielle binôme peut avoir, dans certains cas, des inté- 
grales logarithmiques. Si la solution de l'équation hypergéométrique (41), 
transformée de l'équation (39), ne contient pas de termes logarith- 
miques, il est nécessaire et suffisant que les nombres et — p,^ ne soient 
ni nuls, ni égaux à un nombre entier positif ou négatif. Si /; est positif ou 
inférieur à — %i, les intégrales de ré(|ualion (39) seront toutes de la 
forme (-i^). La valeur de p doit donc être comprise entre 0 et — 2«. 
Cette hypothèse admise el a étant entier, p doit satisfaire à la relation 
pour que certaines solutions de l'équation (39) renferment des termes 
logarithmiques. 
Remarque. — Si = — n, la transformation est illusoire; mais on sait 
alors que l'intégration de l'équation (39) dépend de la résolution d'une 
équation algébrique du ?f degré. 
15 La réduction de l'équation 
s'opère avec la même facilité. 
Par la transformation, dont il a été fait usage plus haut, cette équation 
devient 
p — — rtrb-) (A = 4,2... w — 1) 
a 
(43), 
-+- Avz' 
dx 
(n p)' 
B 
