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SUR LES FONCTIONS HYPERGÉOMÉTRIQUES 
ordre el cherchons à exprimer les solutions particulières par des intégrales 
définies. Nous supposons qu'aucune des solutions de cette équation ne 
contient de termes logarithmiques. Trois hypothèses sont possibles : 1";? est 
positif ou inférieur à — 2° p est négatif et compris entre 0 et — 2n; 
3° p est négatif et compris entre — 2?i et — n^. 
Nous ne traiterons que le premier cas, qui est le plus intéressant; pour 
l'élude des deux derniers cas, nous renvoyons à nos deux mémoires sur les 
fonctions hypergéométriques. Les solutions particulières de l'équation diffé- 
rentielle (39) sont alors exprimables par des intégrales définies à circuits 
fermés. Au surplus, le troisième cas est réductible au premier; car, par la 
transformation indiquée par IVl. Pochhammer (*), on ramène l'équation 
différentielle binôme à une autre de même forme, où le nouvel exposant /) 
est positif. 
Premier cas. — /? > o ou /? < — n^. Soient 
p-4-/i — i -\- \ p -\- n — i + 2 p -y- n — i -\- k — 1 p n — \ 
pi = , Pi— , ... pk= ,...pi = > 
+ « p n p -\- n p •\- n 
P + n p -\- n p n 
et 
1 
$1, 02, ... e,„ sont les n racines de l'unité et nous convenons que Vq doit 
être reniplacé par 4. Considérons l'intégrale : 
(*) Pochhammer, Mathematische Aiinalen, t. XXXVIII. 
