ÉTUDE DE DIVERS SYSTÈMES DÉPENDANT D'UNE SEULE VARIABLE. 17 
X 
FiG. 40. 
ascendante qui aboutit en a; soit «o le point où elle rencontre la ligne 
X = Xo (fig. 10); à partir du point «o, remontons la ligne descendante qui 
passe parce point; nous couperons la ligne 
X == Xi en un point «. En continuant de la 
sorte, nous décrirons un trajet non réali- 
sable aci^aB(il3 >jUojU ; mais le trajet inverse 
^^^aff-^auj) sera réalisable. Dans ce 
trajet, on rencontre deux points successifs, a, 
b, sur la ligne X^S^, qui sont tous deux au- 
dessous de Si, et dont le second est au-dessous 
du premier; d'après ce que nous savons, il 
est nécessaire pour cela que tous les points 
(3aab, soient au-dessous du point Si et 
que chacun d'eux soit au-dessous de celui 
qui le précède. 
Inversement, chacun des points a, «, /3, 
1, |U est au-dessus de celui qui le précède, 
tout en étant au-dessous du point S^. 
On démontrerait sans peine que les points a, «, /S, 1, [x, admettent pour 
point limite le point S^. 
On peut donc s'arranger pour que les deux points l, //, soient infiniment 
voisins du point S^; la descendante iu^uq sera infiniment voisine de la descen- 
dante S^So; l'ascendante sera infiniment voisine de l'ascendante SqSj; les 
deux lignes ^^uq, [xqI se doivent donc couper en un point S, infiniment voisin 
du point Si. Mais le point 1 étant au-dessous du point ^u, nous savons que ce 
point S doit se trouver à droite de la ligne X^Si- Dès lors, le coefficient 
angulaire de la tangente en S à la ligne SiS sera inférieur aux coefficients 
angulaires des tangentes en S à l'ascendante ixqI et à la descendante i^^Jio 
qui passent en ce point, ce qui ne peut arriver que pour un système de la 
seconde catégorie. 
D'une manière analogue, nous pourrions démontrer les propositions 
suivantes : 
Soit A un point donné (^arbitrairement d'ailleurs) sur la ligne XiSi, 
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