ÉTUDE DE DIVERS SYSTÈMES DÉPENDANT D'UNE SEULE VARIABLE. 43 
Elle rencontre sûrement en un poinl A la branche 01 de la ligne des états 
naturels ; si Texcès (H — ©o) i^'est pas trop grand, elle rencontre sûrement 
en un second point a la branche IN de la ligne des étals naturels; nous 
discuterons seulement le cas où il en est ainsi, laissant au lecteur le soin de 
modifier la discussion dans le cas où le point a n'existerait pas. 
Autour de tout poinl de la ligne des élals naturels, on peul tracer un cycle 
fermé infiniment petit. Si donc nous prenons une valeur 0, de 6, surpassant 
infiniment peu B^? trouverons deux cycles fermés simples SqSj, Sq^,, 
dont le sommet inférieur ail pour abscisse ©o sommet supérieur ait 
pour abscisse Q^. Nous pouvons dès lors énoncer la proposition suivante : 
Pourvu que la différence (0, — 0o) ne surpasse pas une certaine limite, 
il existe assurément deux cycles isolhcrniiques simples et deux seulement 
dont le sommet inférieur ait pour abscisse 0^ et dont le sommet supérieur 
ait pour abscisse 04. 
Nous admettrons qu'«7 existe au plus deux cycles fermés simples dont les 
sommets aient pour abscisses deux valeurs données 0q, 0„ de 0. 
La limite inférieure 0j étant donnée, si Ton fait croître la limite supé- 
rieure 0|, trouvera-t-on toujours un cycle simple compris entre les limites 
00, 01, ou bien peut-il arriver qu'il n'y ait aucun cycle compris entre ces 
limites? Nous ferons évidemment I'hypothèse la plus générale en admettant 
que, pour toute vcdeur de 0, inférieure à une lignite Z, fonction de 0j, il existe 
deux cycles simples compris entre les limites 0j, 0^, tandis que pour toute 
valeur de supérieure à Z, il n'existe aucun cycle simple compris entre les 
limites Qq, ©j. — Dans le cas où, quel que soit 0^, il existerait deux cycles 
compris entre les limites 0q, 0i, il suffira, dans ce qui va suivre, de regarder Z 
comme rejeté en dehors du champ des valeurs accessibles de 0. 
Par raison de continuité, il existe un cycle fermé simple et un seul décrit 
entre les limites 0o et Z. 
Considérons le lieu des sommets supérieurs des cycles simples dont le 
sommet inférieur a pour abscisse 0o. Sur toute ligne 0 = 0i, où 0i a une 
valeur inférieure à Z, se trouvent deux points de ce lieu, qui est ainsi formé 
de deux branches, l'une issue du point A, l'autre du poinl a. Ces deux 
