PREMIÈRE PARTIE. 
CHAPITRE IV. 
Si l’hypohermitienne A de rang q esl donnée, l’hypohcrmi- 
± 
tienne A" se calcule sans ambiguïté. On calculera, ce qui est 
toujours possible eu égard à 2 p°, une orthogonale réelle 
j 
p-aire W, telle que A = A* W soit une matrice aux p — q der- 
nières colonnes composées de zéros. La matrice A donnera un 
polysphère A, d’ordre p et de rang q, tel que les p sphères aj 
de JF forment deux à deux des angles, dont les cosinus sont les 
coefficients À /A de A. Tout autre polysphère, doué de cette pro- 
priété, ne différera de Jb que par l’orientation. 
Ainsi : pour une matrice hypohermitienne p-aire A don- 
née, te polysphère X est connu à V orientation près. 
Autrement dit se trouve résolu le problème suivant de Géo- 
métrie : 
Construire un polysphère dont on donne l'ordre, le rang 
et les angles. 
Les angles ne peuvent être pris au hasard, car les p' 1 cosinus 
\j k , "hjj— 1 doivent être les éléments d’une matrice hypoher- 
miticnne du rang donné. Si cette condition est remplie, la con- 
figuration du polysphère est unique et bien déterminée, l’orien- 
tation restant, comme c’était évident à priori, indéterminée. 
La matrice A joue un grand rôle dans les présentes 
recherches. On raisonnera souvent sur les A et non sur les 
polysphères. 
3 i° A côté de A = A p se place une autre matrice p-aire 
V = V que voici : 
1 ( 
2 / j 2 
2>M3 
2 ^ 1 !> 1 
1 0 
1 
2 X.73 
2 X 2p J 
0 
O 
j 
. . . 
: | 
|o 
• 
• 
. . . 
0 
1 
0 
0 
1 
