SPHÈRES invariantes; faisceaux invariants; semi-canonisation. 77 
et en identifiant 
S[«]rr« cosO — V sin 0 
S [r ] =n u sinO 4- v cos 6. 
Alors 
S[tv] nn S[w COS'f -h V sincp] 
— cos'i S [ «] 4- sin cp S [r] = u cos('f — 0)4-esin(<p — 0). 
S [oc] est sur le faisceau IL. c. q. f. d. 
Toutes les ce sphères du faisceau sont données par la lor- 
mulc 
w — u coso -h c sin o. 
i i 
La substitution S, effectuée sur les sphères de IL revient à 
ajouter — 0 à l’arc-paramètre o de chaque sphère. 
70° Réciproquement, tout faisceau invariant peut être 
obtenu par le procédé ci-dessus , c’est-à-dire se rattache à un 
couple de racines complexes <?'° et e~ /6 . 
Prenons sur le faisceau, par les procédés du Chapitre 11, un 
directangle formé par deux sphères orthogonales u et ç. 
En vertu de l'invariance du faisceau, on aura 
S [«/] — M/COSa 4- e/sina, 
S[t’/] — ///cosjî 4 - C/sin^. 
Les deux sphères transformées sont encore orthogonales, 
d’où 
o = 2, («/cosa-hc/sin a) (///cos^ 4 - C/sin 3) — cos( £ — a) ; 3 ne 3 +". 
‘ mmd 2 
Puis 
S [ (’ ] en — u sin or 4- v cos a, 
S[«4 Ô’] = e~ /a ( U 4- iV). 
Posons u t 4- tV/= on a 
S[Ç] = fc-'«=pÇ, 
P cst racine de l’équation caractéristique cl l’on retombe sur le 
système (o) du 67°. c. q.f.d. 
