PRÉLIMINAIRES ET GÉNÉRALITÉS. 
orthogonalité, unitarité, que possède éventuellement une 
matrice, deux quelconques entraînent la troisième. 
17 0 Passons maintenant à rimportante notion de l 'équiva- 
lence entre deux matrices /z-aires A el B. 
A et B seront équivalentes par définition s’il existe deux 
autres matrices /z-aires L et M, avec | L [ et j M | -=f o, telles que 
B = MAL. 
Si M = L -1 , A et B sont semblables. 
Si Al = L', A et B sont congruentes. 
Vis-à-vis de la similitude, la multiplication est une opération 
invariante, car 
(L->A 1 L)(L- 1 A,L)=L- 1 A,A 2 L. 
Vis-à-vis de la congruence, ce qui est invariant c’est la rela- 
tion entre une matrice A et sa transposée A'. En ellet 
(L'A L)'= L' A'L. 
Dans le cas particulier où L est orthogonale, L = L -1 , il y 
aura à la fois congruence et similitude. 
Si l’on transforme par l’orthogonale L un groupe de matrices, 
dans le groupe transformé subsisteront les relations nées de la 
transposition. 
1 8° Le problème de l’équivalence a complètement été résolu 
par Weierstrass (I). Je me bornerai à résumer l’exposé de 
Frobenius (111) dans la mesure utile à mon objet. 
W eierstrass introduit les faisceaux de matrices 
p A -t- B et p G 4- D 
où p est un paramètre variable. Deux pareils faisceaux sont 
équivalents par définition, s’il existe deux matrices L et M, 
avec | L | -=f o el | M | o, telles que 
C — MAL, 
D = MBL, 
