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INTRODUCTION. 
rang minimum des réseaux contenant les p sphères de X, q = />• 
Je fais d’abord une étude détaillée des polysphères, des poly- 
rectangles cl des réseaux. 
Ensuite on introduit Y inversion. G est, par définition, une 
substitution S dont le déterminant est — r et l’équation carac- 
téristique admet la racine simple — i et la racine 
( a — i )-uple i . 
A chaque inversion A se rattache une sphère inverlantc a. 
A et a se définissent mutuellement sans ambiguité. 
Soient X un polyspbère, cij ses p sphères, A y - les p inversions, 
dont les cij sont les *p» îères invertantes. Si une substitution S 
est le produit 
S — A | A •> . . . A j . . . A p , 
on dit que le polyspbère x fournit S. 
Dès lors, on se trouve en présence de deux problèmes, 
inverses l’un de l’autre, et qui sont successivement traités. 
P u orl km k l. — - X est donné, construire S. 
Problème II. — S est donnée , construire x. 
Pour le problème 1, j’établis une formule générale, par 
laquelle S est calculable séance tenante, d'une façon unique et 
sans ambiguïté. 
Dans le problème II, les choses se passent moins simplement. 
La solution n’est plus unique et bien déterminée. En effet, sans 
changer la substitution S, fournie par un polyspbère X, on 
peut ajouter à x les diverses sphères d'un polyspbère quel- 
conque C, fermé, c’est-à-dire fournissant la substitution unité. 
Je donne les conditions nécessaires el suffisantes pour qu’un 
polyspbère soit fermé. Notamment l'ordre p doit être pair. 
Une fois ions les polysphères fermés obtenus, le problème II 
se ramène à trouver un seul des polysphères fournissant S. 
D ailleurs, sans restreindre la généralité ni sortir du réel, on 
peut toujours faire en sorte que l’ordre u de S soit pair, n = v.m 
