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INTRODUCTION. 
Je n’ai pu hésiter sur le choix des opérations élémentaires; 
co seront des inversions, c’est-à-dire des transformations par 
rayons vecteurs réciproques généralisées. En elTet, S est isog'o- 
nale, c’est-à-dire conserve les angles. Or (d’après Liouville et 
MM. Darboux, Poincaré, Goursat, etc.) toute transformation 
isogonale d’un espace quelconque est un produit d’inversions. 
Le présent Mémoire contient la solution effective et complète 
du problème suivant : 
Décomposer, en un produit d’ inversions, la substitution S, 
linéaire n-aire, réelle et orthogonale. 
La question est traitée comme se rattachant à la théorie des 
formes bilinéaires ; on fait usage tant du calcul symbolique 
que des principes de Weierstrass ( E le m enlartheiler, etc.), 
fondamentaux dans la matière. Je m’inspire, bien entendu 
aussi, tant des travaux de mes devanciers (lesquels sont, dans 
ce domaine et outre Weierstrass, encore Kroneckcr ainsi que 
MM. Darboux et Goursat) que de mes propres publications 
antérieures. On trouvera ci-dessous la liste bibliographique à 
consulter. 
Pour abréger le langage cl les raisonnements, il a paru 
commode d’introduire aussi une certaine terminologie géoiné- 
trique, où figurent surtout des sphères. 
T, es n variables réelles x h J i=\, 2, ..., n\, liées par la 
relation Za? 2 = i, sont les coordonnées d’une sphère réelle x 
dans un espace à n -- 2 dimensions. L’invariant simultané, vis- 
à-vis de toute substitution S, ^xy de deux sphères x et y est le 
cosinus de l’angle des deux sphères. Le poly sphère x des 
p sphères cij, j y = r , 2, . . ., p j, est le système de ces p sphères, 
rangées dans l’orclre naturel et croissant des indices j . Le 
polysphère devient un polyreclangle si les sphères sont ortho- 
gonales deux à deux. Un réseau de rang q est le lieu des 
oc y_l sphères, dont les coordonnées sont liées par n — q rela- 
tions distinctes, linéaires et homogènes, à coefficients constants 
et réels. Un polysphère X, cV ordre p, a le rang q, si q est le 
