INVERSIONS. 
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Alors [i° et 2 °; formules (3) et (4)? • • • I 
,\ — a x — a ± — a 3 — o = x { = x 2 — J" 3 , 
R - 1 = x^ 4 - ix h ; # 4 — ix 3 = H. 
Faisons R = — i, R - ' = i\ alors 
R-‘+R 
JQ O J , , 
2 f et la sphère inventante est réelle; c’est la sphère 
R-i — R I coordonnée S g . 
2 i ; 
8o° La sphère invertante étant H 3 ou 
X 2 H- Y 2 4- Z 2 H- i = D -h I = O, 
l’inversion est exprimée par les formules 
(o) X' — — XI)- 1 , Y' = — YD- 1 , U — — ZD- 1 , D'nD- 1 , 
où X', . . D' sont les coordonnées d’un point et le carré de 
sa distance à l’origine, centre d’inversion. 
Prenons maintenant la sphère quelconque x ( voir i°) 
o = 2x { X + -2x 2 Y h- 2x 3 Z H- ( D — i).r 4 H- (D h- i) ix 3 . 
Après inversion et départ du facteur D -1 la sphère devient, 
eu égard aux formules (o), 
o z= 2 Xi X -t- 2 x . 2 Y 2 .r 3 Z 4- ( D — i) x w — (D + i ) ix'.. 
Sur les cinq variables j;,, . . ., x 5 l’inversion se traduit par la 
quinaire canonique réelle 
<S r 
T./’ a 
X CL 
X, — ~X 
( 2 — i ) 2 , d, a ) . 
Par orthogonalité, t 2 = i . On prendra 
i — — - 3 — — i, d'où 
E — tr 5 | — (p — l) 4 (p 4- I). 
= » ; 
8i° Généralisant la notion d’inversion introduite dans le 
i résent Chapitre, je nommerai inversion toute' substitution 
