INVERSIONS. 
D’où un important résultat. 
Théorème. — Toute matrice réelle et orthogonale est un 
' oroduit d' inversions. 
La construction, pour une matrice réelle et orthogonale 
lonnée, des inversions composantes est le problème capital de 
la seconde Partie et de tout le présent travail. 
86° Prenons un polysphère x (20°) d’ordre p et de rang q , 
/ = n, constitué par les p sphères aj (j = 1,2,..., p). Intro- 
luisons les p inversions A j dont les aj sont les sphères inver- 
I antes, ainsi que l’orthogonale «-aire, réelle et orthogonale 11^, 
)roduit des p inversions, 
I l I l> A A • • • A y, — 1 A JJ. 
\ p admet pour invariante toute sphère orthogonale ci la fois 
iux p inventantes (84°), c’est-à-dire toute sphère du rè- 
eau complémentaire (20°) au réseau H q défini par le 
)oly sphère X. 
Plaçons, eu égard aux théories du Chapitre 11 : 
Sur l\ (/ , le polyrcctangle des y sphères coordonnées E r , 
-i)2,..., y; 
Sur K„_ y , le polyrcctangle des n — y sphères coordonnées 
estantes 
~< 7 +l ) • • • > —11 • 
Alors a ji = o pour i>y et, comme il est facile de voir, H /; : 
0 se traduira sur les n - q variables x ç + { , par la substi- 
ulion (n — y)-aire unité; 2 0 sur les q variables .. ., x r 
>ar une certaine orthogonale y-aire P /v 
L’expression |pE - II,,| est divisible par (p — 1)"-* au moins. 
On voit que le nombre n 11e joue pas grand rôle. • 
87° Hcportons-nous au ( 33 °. la? déterminant d’une inversion 
