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El carácter propio de li ciencia del cálculo no consiste en que en el cálculo no se 
supone sinola idea del número, i que esta ciencia se desarrolla i se perfecciona hasta 
el último grado posible, solo por la jcneralizacion do dicha idea. — Podemos distinguir 
tres grados principales del cálculo: en el primero se supone el número invariable, en 
el segundo variable, i en el tercero se trata de la variabilidad de la función del número. 
La historia de las matemáticas hace ver que la época se ha perfeccionado el cálculo su- 
perior, comparativamente a los otros ramos de las matemáticas, ha sido mui corla, i que 
bastaron para esto solo unos pocos sábios para elevarlo al grado de la altura en que 
está todavía. De ese modo el progreso de la ciencia llegó a ser ealacionario, i es do 
observar que de aqui en adelante no tenemos qnc esperar un progreso esencial de la 
ciencia, a pesar del gran ensancho que puedan tomar ciertas parles del cá culo, puesto 
que en el cálculo de las variaciones el número ha llegado a la idea mas jencralizada 
de que sea susceptible. — Mas el camino que el inventor de una ciencia sigue no es 
siempre el mas sistemático, pues, para conseguir su objeto, hace a veces un salto que 
no es compatible con el sistema de la ciencia, i mucho monos recomendable para la 
ensañanza. 
Partiendo de este principio, se ha empezado en el continente, hace como veinte 
años, a examinar i perfeccionar los métodos, í la ciencia ha entrado en una nueva 
época, que podemos llamar la época de la critica. Lo que mas que todo contribuyó 
a fijar la atención en el método, fueron las series infinitas que nos dá el cálculo al 
desarrollar una función, Se observaba que 'estas series d djan en ciertos casos de apli- 
cación, resultados o indeterminados o verdaderamente falsos, es decir, el valor de la 
serie era distinto de la función, i se trataba de buscar la causa de este fenómeno. Se 
vió que la validez de ciertas serios no era jeneral sino dependiente de ciertas propie- 
dades de la función. — Igualmente presentaba la Aritmética cuestiones que dejaban 
incertidumbre en la significación de ciertos resultados, o hacían dudar si las leyes 
de operación que enseña tenían una validez jeneral o no, Por ese motivo en los últi- 
mos tiempos muchos, se han ocupado particularmente en Alemania, en someter las 
diversas partes de la Aritmética a un exámen prolijo. Tal empresa es de mucha uti- 
lidad, porque en primer lugar impido que se cometan errores en la práctica-, en se-, 
guudo lugar satisface la necesidad de la ciencia sistematizándola, i en tercer lugar 
presta un servicio mui importante a la enseñanza, dándele un método seguro i digno 
del objeto que se propone. i\o puede haber duda alguna, deque parlieularmenle en 
la inslrucciomcienlífica el objeto del estudio de las matemátiens no es de aglomerar 
conocimientos cuanto mas números posible, sino ejercitar el raciocinio del hombro 
por medio de esa ciencia. Por estos molivos me parece interesante i útil hacer ver los 
defectos que se observan en los tratados de la Aritmética, i proponer un método libre 
de dichos defectos. 
Antes que se introdujese en el cálculo las letras como representantes de números, 
no habia mas que los signos árabes (las cifras), i por esa razón se decia que la Arit- 
mética era la ciencia que enseña las reglas de operación con las cifras. iMas tardo se 
llamaba el conjunto de las reglas d<; operación hechas con letras cálculo de letras, i 
la aplicación de estas reglas a la resolución de las ecuaciones el Aljcbra. Lo csqncial 
de lo nuevo que ofrece la introducción de las letras como representantes de los nú- 
meros és la diferencia, cuyo sustraendo es mayor que el minuendo, i que ha condu- 
cido a la idea de ios números negativos. Todas las demás formes de números como 
las fracciones, los números irracionales, etc., son las mismas que ha de tratar la 
Aritmética, i el modo de deducir las respectivas leyes de operación os enteramente el 
mismo en ambos casos. En la .Vritmélica se dice con toda razón que solo un número 
menor puedo sustraerse del número mayor; si ahora se reconoce la conveniencia del 
cálculo con números negativos, entonces es de absoluta necesidad de que aquella 
