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P. e la división 17: 4 no dá un núinoro natural porque en la serie de estos ns hai 
número que mulliplicado por 4 dé 17 ele. 
Mas si representamos los números por letras no podemos saber desde lue^^o si el 
signo (a : b) es igual a un número natural o no i como tales signos pudieran en el 
curso del cálculo entrar de nuevo como elementos de las operaciones directas que 
harémos con ellos! puesto que las definiciones de estas operaciones no se refieren 
sino a números naturales. — Para remover esta dificultad no hai mas que dos modos 
de proceder: 
1, introducir una nocion mas jcneral del número o bien 
3. hacer menos limitada la defidicion de la operación, tomando solo los núme- 
ros naturales por punto de partida. 
El primer modo no es practicable por razón de que hasta ahora no ha sido posi- 
ble dar una definición del número tan jeneral que abrace al mismo tiempo las es- 
presiones imajinarias i de que ademas la ejecución queda defectuosa como lo hace 
ver lo arriba espucslo. 
El segundo modo iienc mejor éxito i forma lo esencial del método que voi a es- 
poner. 
Obsérvese que miéntras los números están representados por letras toda operación 
no puede efectuarse sino solo indicarse el jénero i curso de la operación respectiva 
p. e. la espresion (a-j-b) nos indica que al número a tenemos que agregar b i por con- 
siguiente la adición de los dos números no es mas que la acción de juntar los dos 
números por el signo ( +) asi como la sustracción de dos números consiste en poner 
el signo ( — ) entre ellos. La forma sola (a-fb) es una suma i bien distinta de lo que 
se llama suma en el cálculo- de las cifras. En caso que a i b son números naturales 
tendrá esta suma un valor p. e. la suma de 7 i 9 es 7-^-9 i su valor: 16; en el caso 
contrario como número no tiene valor alguno. 
El objeto principal i final de la Aritmética jeneral es ahora indagar si se puede 
cometer un error, calculando las sumas, diferencias etc de los números, que no son 
números naturales, valiéndose de las mismas reglas que sirven para los números na- 
turales, c como estas reglas pueden reducirse a las 13 fórmulas (ecuaciones funda- 
mentóles) se trata de saber si ellas dan resultados exactos aun cuando a i b no son 
a 
números naturales p. e. si en lugar de — b. puede ponerse todavía a aun cuando a i 
b 
b o uno de e'los son fracciones, números irracionales o espresinnes imajinarias etc. 
Para ejecutar esto con la mayor jeneralidad se debe indagar si la validez de estas 
ecuaciones fundamentales es independiente de a i b. sea cual fuera la cosa que pre- 
sentan estas letras. Mas si dejamos de representar a i b cosa canlidaliva entonces 
pierden los signos ( ), ( — ), V. etc. su significación de signos de operación i uu 
queda mas que la mera forma. La espresion (a -f b) tendrá entonces la forma de un,i 
suma, sin ser tal en realidad, porque si a i b puedan representar cosa cualquiera o 
si hacemos abstracción del elemento cantitativo, el signo ( 4 ) no recuerda mas la 
idea de efectuar una operación sino es solo signo de distinción de otras formas, como 
p. e. de : a — b ; Va etc. 
Distinguimos así dos jeneros de sumas, diferencias etc. de losqueel primero com- 
prende las sumas de números, diferencias de números etc. i el segundo las sumas 
de signos, diferencias de signos etc. 
Una suma de signos, diferencias de signos se caracteriza pues solo por la forma i 
por ciertas propiedades que se llaman propiedades analUiias. Asi es la propiedad 
analítica de la suma (a b) la da poderse cambiar con la forma (b a), lo que s« 
escribe: ■" 
