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Por unn discusión de esas ecuaciones resulta ahora, que nunca puede haber una 
contradicción entre ellas con tal que solo los principios sean exactos (lo cual está 
l'uera de duda alguna) i como una consecuencia necesaria se deducen entonces las 
siguientes: 
2. ('a-bJ-\-c=fa^cJ — b=a —fb—cj 
5. fa-j-bj— c=fa — cJ-{-b—a-\-fb — cJ 
4. f(i—bj — c—fa — cJ — b=n—(b-\-cJ 
5. rt-|-o=o-f-«=«: a— o— a 
} -cJ—a — f-^-cJ i 
Ahora nada mas fácil que hacer ver que las tres ecuaciones fundamentales quedan 
exactas si a, b i c representan númaros naturales i los signos (-f) i (— ) signos de 
operación, o con otras palabras si ponemos sumas i diferencias de los números en 
lugar de sumas i diferencias de los signos i por consiguiente deben ser válidas tam- 
bién las 6 ecuacionas deducidas. 
Se sabe que la diferencia a — b tiene un valor numérico solo cuando b .<a i que en 
caso contriirio la sustracción es inejecutable p. e. poniendo 7 i 9 por a i b será la 
diferencia 7 — 9 sin valor; mas según lo espueslo estamos seguros de no cometer un 
error poniendo (7— 9)— 11 en lugar de (7— 11)— 9, o de 7— (9 -}- 11), porque la ecua- 
ción ( 4 ) es una consecuencia necesaria de las tres ecuaciones fundamentales cuya va- 
lidez está fundada. 
Como una abreviación de (7 — 9) se pone el signo (—2) i lo llaman numero nega- 
tivo a pesar deque sabemos con toda seguridad de que no es un número sino solo 
un signo de número que tiene la propiedad analítica de 
— 2 + 2=0 
Esto basta para la Aritmética porque para ella es indiferente si el resultado es un 
número natural o solo un signo sin valor de número; si tal resultado tiene un senti- 
do en la aplicación es otra cuestión que se decide siempre por la naturaleza de la 
magnitud considerada. El resultado (— 2 ) tendrá un sentido si la magnitud propues- 
ta tiene la propiedad de que agregadas dos de sus unidades a otra cosa dé por resul- 
lodo 0 . Si esto no tiene lugar entonces ( — 2 )no resuelve el problema i debe haber ne- 
cesariamente una contradicción en el enunciado del problema porque el resultado es 
una cosa lojicamente deducida de lo que el problema pide, apesar de que (— 2 ) satis- 
face siempre la ecuación correspondiente aritméticamente etc. 
La espresion V — 4 será una mera forma de númeao, caracterizada por cierta pro 
piedad analítica, peao sin embargo de que no podemos efectuar la operación corres- 
pondiente ni hallar una mahnitud a la que referida como número de medida tenga 
un sentido, apesar de todo esto tenemos según este método la certeza de noconreter 
un error poniando p. e. en lugar de (V — 4 )» el número natural 4. Asi, con cada se- 
guridad nos conduce éste método de lo imajinario a la realidad i atendiendo a la su 
ina facilidad que ofrece el cálculo de espresiones imajinarias particularmente cuando 
se les dá la forma conneida, introducida primero por Cauchy, bastante motivo tene- 
mos para apreciar todo método que dá esta seguridad. 
Del modo análogo se tratan las demas operaciones de la Aritmética por lo cual se 
or j nan las demas especies de los números conocidos i las escepciones de que sufren 
Jas leyes del cálculo de la Aritmética. 
