SCK L’INTÉGRALE EULÉRIENNE 
à __ 1. Si celte condition n’était pas remplie, on 
aucune les formules précédentes ( )• 
modifierait sans difficulté 
fi. Cherchons le résidu pour le pôle défini par Pequation 
k •+■ x — Oj 
et 
faisons usage de la formule (22). Nommons R A ce résidu . 
R 4 = 
R* = 
a\ [a—k)sin[a — k)n 
kl a sin an cos an 
cos(a — 2/c) ( T: — cos(2 k—a) - +sin(a -2 k) (w 
- sin(2 k - a) - 
2/ V 2 
a\ (a — k) sin (a — /çV 
k) a sin an cos an 
cos 
(«- 2 k) 
ou 
R* = (— ty 
(a — t) (a — 2) ... (a — A) 
" 1.2.3 ...fr 
7. Généralement, si 6 varie entre les limites (2n — 1)* et (2 n -h 1 ) rt 
(exclusivement), la variable u aura lait n tours autour des points critiques 
oet À- les quantités « 2 , (4 — u) 2 seront respectivement multipliées par 
e in( P +q )*■ e ~in(p-q)* . formule (22) deviendra ainsi 
(24) 
r (a) r (x) __ (a x)si n(a -*-x)r [ 
T(a + x) asinaTCOsna^- 
( 
cos| (a-+-2x)(w?r — - 
6 
(2n 
P— (rt-4-2x)sin 
\)n > 0 > (2 fl — I)t. 
(<n-2x) U*— - 
Q 
8. En résumé, nous venons de montrer que la fonction eulérienne R (a, a?) 
est développable en une série convergente, contenant un angle 6, satisfaisant 
aux conditions 
(25) . 
6 = (2n de 1 )n -+- «, t > a 0. 
Toutefois, « peut être supposé nul, si n est égal à 0. 
(*) Voir le Cours d’analyse professé à la Sorbonne par M. Ch. Hermite, 3 e édition, p. 135. 
