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SUR L’INTÉGRALE EULÉR1ENNE 
puis, en désignant par 1 le fadeur de M. Darboux, 
p+'i i. p~-i _ i 
(db) = Ar 2 e 1 * ' (1 - re- 4 * ) 2 arc db , 
P+9 . (^P+'/Yr,, ÎXl -1 
(ca) Ar 2 e ^ 2 ' (1 — nr'*') 2 arc (ca); 
^ et <// sont des valeurs moyennes entre O et y, O et y 1 . 
Le rayon r diminuant indéfiniment, les valeurs de ces intégrales curvi- 
lignes tendent vers zéro et, à la limite, il viendra 
(9) 
. (os \) = B 
( P + 7 
\ 2 
V - 7 
I» 
Supposons maintenant que le rayon oR, tournant amour de l’origine 
dans le sens direct, vienne coïncider avec oR'. Comme nous venons de le 
dire, les points de l’arc os décriront des circonférences dans le sens direct 
et viendront coïncider avec les points de l’arc os 1 ; les points de l’arc As 
décriront également des circonférences, mais dans le sens rétrograde; et 
l’arc As, par des déformations successives, se transformera en As'. En 
outre, sans altérer la valeur de B ej, on peut supposer que, 9 se 
rapprochant indéfiniment de 2rc, l’arc os'A tend à se confondre avec la 
droite oA. Dans les aires ca's'l, Is'b'd , y(u) étant holomorphe, on a les 
égalités 
(ca') (a', s') -+- (s'I) = (cl), 
(t s'b ') ■+- (b'd) ( Is ') = (Ib). 
Quand la variable u atteindra l’axe des x, les quantités u~ et (1 — -nf* 3 
auront changé de détermination; elles seront respectivement multipliées 
par e i[q ^ p),r , e~ i[p ~ q)Tz . 
Ainsi, 
I /*; p ± ï _, p - v . 
[cos (p q)r i sin (p -t- q)r] J x 2 (1 — x) 2 dx 
r / \ /'* p-v . 
-t- [cos(p — q)n — tsin(p — 7 )t] J x 2 (1 — x) 2 dx; 
